PENGERTIAN FORMALISME
Dalam matematika, adalah suatu gerakan dalam falsafah matematika yang menekankan sifat-sifat formal matematika. Sesuai dengan cita- cita setua jaman Euklides, suatu bukti yang sepenuhnya eksplisit haruslah memperagakan baik premis yang digunakan, maupun aturan inferens yang membenarkan, pada tiap langkah argumen. Dalam bukti yang benar, premis pada tiap langkah haruslah berupa aksioma, atau dalil yang telah dibuktikan sebelumnya. Dalam gaya pemikiran modern, bukti yang benar-benar eksplisit, atau yang disebut “diformalkan”, didahului dengan mendaftar semua tanda matematika maupun logika sederhana, aturan-aturan untuk menggabung tanda-tanda ini, aksioma yang berkaitan, dan aturan-aturan logis untuk menurunkan dalil-dalil baru dari aksioma-aksioma itu. Suatu teori matematika yang disusun secara demikian disebut sistem formal. Formalisme dikaitkan erat dengan karya David Hilbert, seorang matematikawan besar dari Jerman dalam abad ke-20.
Filsuf matematika yang lebih ekstrem, yakni para formalis radikal, bersikeras bahwa aksioma dan dalil itu tidak berarti apa-apa, dan hendaknya dianggap sebagai gabungan tanda-tanda secara sebarang belaka. Pada pandangan mereka, matematika itu tak ubahnya seperti permainan catur. Aksioma adalah posisi awal, tiap tahap argumen adalah langkah buah catur, dan tujuan yang tak bermakna itu dipermainkan sesuai dengan aturan permainan yang telah tetap dan tak diubah-ubah lagi. Tentu saja pandangan ini sangat ekstrem, karena seandainya matematika hanya seperti itu, bagaimana mungkin matematika dapat begitu berfaedah dalam rekayasa dan ilmu-ilmu pengetahuan alam?
Hilbert memilih jalan yang lebih moderat. Ia menganggap ilmu hitung sebagai bermakna, dan kebanyakan matematika lainnya sebagai simbolik semata-mata. Walaupun sangat berguna, matematika itu hanyalah pembantu ilmu hitung. Pernyataan ilmu hitung mudah dibayangkan atau diinderai, hasilnya tertentu dan tak perlu diperdebatkan, semua operasinya diselesaikan dalam sejumlah langkah yang terhingga. Sebaliknya banyak cabang matematika melibatkan unsur- unsur ideal yang tak mempunyai makna langsung. Hilbert bersikeras bahwa memasukkan cara pengungkapan yang tak-terhingga itu memerlukan pembenaran. Pembenaran ini dicapai dengan membuktikan bahwa matematika itu taat-asas. Pembuktian itu hendaknya dilakukan dengan hanya menggunakan metode- metode yang terhingga. Dengan menganggap bukti sebagai tujuan matematika, Hilbert dan pengikutnya berharap dapat menunjukkan aturan main yang dapat menghindari dihasilkannya kontradiksi seperti, misalnya, bahwa nol tidak sama dengan nol. Program Hilbert ini mengawali lahirnya cabang ilmu baru, yakni metamatematika. Dalam ilmu ini matematika, terutama sifat-sifat formalnya, merupakan subjek penyelidikan matematis.
Dalam tahun 1931, Kurt Goedel, seorang matematikawan Amerika menemukan bukti-bukti kunci bahwa sistem formal Hilbert itu pada hakikatnya tidak lengkap. Goedel memperagakan bahwa bukti yang sukses mengenai ketaat-asasan sistem formal haruslah menggunakan metode-metode yang terlalu kuat untuk dinyatakan hanya dalam sistem formal. Jadi harapan membangun matematika atas dasar keter- hinggaan yang sempit terbukti hanya khayalan belaka.