Advertisement

Dalam matematika, oleh awam dapat diartikan padanan istilah Inggris series maupun sequence. Sementara pengarang menggunakan istilah deret untuk series dan barisan bilangan untuk sequence. Dalam ensiklopedi ini istilah sequence dipungut menjadi sekuens, dan series diterjemahkan sebagai deret. Dalam deret maupun sekuens, barisan suku-suku dianggap diketahui bila tiga suku atau lebih yang berturutan telah diketahui. Dalam deret yang terutama diperhatikan adalah jumlah suku-suku.

Dilihat dari banyaknya suku, dikenal deret tak terhingga dan deret terhingga. Sebelum ada komputer, untuk memperoleh nilai suatu besaran, misalnyapi, besaran itu dinyatakan dulu sebagai deret, kemudian banyaknya suku dapat diperbesar untuk memperoleh nilai yang lebih tepat. Sekarang cukup disusun program aproksimasi iteratif untuk komputer.

Advertisement

Deret dapat ditetapkan baik dengan menetapkan secara langsung tiap suku, atau dengan menunjukkan bagaimana tiap suku dapat dibentuk dari suku-suku sebelumnya. Contoh: deret 1 + 1/2 + 1/4 4- 1/8 + 1/16 + … dapat dinyatakan sebagai: suku ke-n adalah (1/2)n l, atau dinyatakan secara rekursif dengan mengatakan bahwa suku pertama adalah 1 dan suku- suku berikutnya adalah separo suku di depannya.

Dikenal bermacam-macam deret, antara lain:

Deret Fibonacci. Setiap suku deret ini merupakan jumlah dua suku sebelumnya. Contoh: 0 + 1 + 1 + 2+3 + 5 + 8 + 13 + 21 dinyatakan dengan ui = 0, u2 = 1, … ur = ur-i + ur-2 jika r lebih besar dari 2. Deret Fibonacci penting dalam geometri dan biologi.

Deret aritmetik {deret hitung) dan deret geometri {deret ukur) biasa merupakan deret elementer, ka-rena hubungan antara dua suku berturutan adalah konstan. Pada deret hitung, selisih dua suku ber-turutan adalah suatu bilangan tetap. Contoh: 2 + 5 + 8 + … Pada deret ukur, angka-banding dua suku berturutan adalah suatu bilangan tetap. Contoh: 2 + 4 + 8 + 16…

Deret lain yang lebih kompleks antara lain deret hitung-ukur, yang diperoleh dengan mencampur se-kuens hitung dan sekuens ukur.

Deret pangkat mempunyai bentuk a0 + aix + a2X2 + a3X3 + …

Fungsi ex, loge(l + x), sin x, cos x dan arctan x dapat dinyatakan sebagai deret pangkat takterhingga.

Selain deret di atas, dikenal pula deret selaras (harmonis), deret Fourier, deret konvergens seragam, deret asimtot, dll.

Latar Belakang Sejarah. Masalah deret ini telah lama dikenal manusia. Filsuf Yunani, Zeno dari Elea, pada abad ke-5 SM, melontarkan paradoks sebagai berikut: Achilles dapat lari 10 kali lebih cepat daripada seekor penyu. Dalam suatu lomba lari, ia membiarkan penyu di titik A, 100 meter di depannya. Ketika Achilles sampai di A, si penyu sudah berada di B, 10 meter di depannya. Ketika Achilles sampai di B, si penyu sudah berada di C, 1 meter di depannya. Jadi, demikian kata Zeno, Achilles tak pernah dapat mengejar penyu itu. Terlepas dari waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak-jarak itu, jarak yang ditempuh Achilles sebenarnya merupakan deret tak terhingga 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … = 111,11… meter.

Sarjana Yunani lain, Archimedes, berusaha menetapkan luas segmen parabola dengan berturut-turut mengeluarkan segi tiga dari segmen itu. Pada hakikatnya jumlah luas segi tiga adalah jumlah deret ukur tak-terhingga A + (1/4)A + (1/4)2A + … yang limitnya adalah (4/3)A.

Setelah itu, lama tak ada karya mengenai deret, sampai Johannes Kepler menyelidiki panjang dan luas segmen elips (1615). Karya Kepler dikembangkan terus antara lain oleh Francesco Bonaventura Cavalieri (1635), John Wallis (1655), dan Isaac Newton (1711). Leonhard Euler (1748) banyak berkarya mengenai deret tak terhingga, tanpa terlalu menggubris konvergen tidaknya deret itu. Gottfried Wilhelm von Leibnitz menekankan perlunya pembedaan konvergen dan tidak (1705). Kemudian Jean Baptiste Joseph Fourier melontarkan analisisnya terutama untuk penyelidikan aliran kalor.

Usaha untuk memperoleh teori yang lebih logis dirintis oleh Augustin Louis Cauchy (1821), namun konvergens seragam justru ditemukan oleh orang lain, yakni Sir George Gabriel Stokes (1847). Bahkan Karl Friedrich Gauss yang menangani deret hipergeometrik secara saksama (1812) gagaf menemukan konvergens seragam itu. Peter Gustav Lejeune Dirichlet menyelidiki kesahan penggunaan deret Fourier (1829) dan membuktikan bahwa penataan-ulang deret konvergen tak mempengaruhi jumlah deret (1837). Henry Poincare melontarkan pemekaran asimtotik dengan menggunakan deret divergen (1836). Otto Hoelder (1882) dan Ernesto Cesaro (1890) memperkenalkan tipe jumlah deret yang lebih umum.

Advertisement